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题目

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解法-动态规划

假设 n 个节点存在二叉排序树的个数是 G (n)，令 f(i) 为以 i 为根的二叉搜索树的个数，则
G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)

当 i 为根节点时，其左子树节点个数为 i-1 个，右子树节点为 n-i，则
f(i) = G(i-1)*G(n-i)f(i)=G(i−1)∗G(n−i)

综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*G(n-2)+...+G(n-1)*G(0)G(n)=G(0)∗G(n−1)+G(1)∗G(n−2)+...+G(n−1)∗G(0)

Java实现

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
  
        for(int i = 2; i < n + 1; i++)
            for(int j = 1; j < i + 1; j++) 
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
  
        return dp[n];
    }
}

GO 实现

package main

//leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion)
func numTrees(n int) int {
	G := make([]int, n + 1)
	G[0], G[1] = 1, 1
	for i := 2; i <= n; i++ {
		for j := 1; j <= i; j++ {
			G[i] += G[j-1] * G[i-j]
		}
	}
	return G[n]
}

解法-数学

事实上我们在方法一中推导出的 G(n)G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数 Cn。卡塔兰数更便于计算的定义如下:

代码实现-go

func numTrees(n int) int {
    C := 1
    for i := 0; i < n; i++ {
        C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return C
}